上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試卷
學(xué)習(xí)好了數(shù)學(xué)對(duì)我們以后的生活或者找工作都很有用的，今天小編就給大家來看看八年級(jí)數(shù)學(xué)，希望大家來一起參考閱讀一下哦
有關(guān)八年級(jí)數(shù)學(xué)上期中考試試卷
一、選擇題
1.如圖所示，圖中不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A B C D
2.下列各組線段中能圍城三角形的是( )
A.2cm,4cm,6cm B.8cm,4cm,6cm
C.14cm,7cm,6cm D.2cm,3cm,6cm
3.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A，則此三角( )
A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60°
C.一定是直角三角形 D.一定是鈍角三角形
4.工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角,如圖所示,∠AOB是一個(gè)任意角,在邊OA,OB上分別取OD=OE,移動(dòng)角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與D,E重合,這時(shí)過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.你認(rèn)為工人師傅在此過程中用到的三角形全等的判定方法是這種作法的道理是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
5.如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD、從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A、BC=BD B、AC=AD C、∠ACB=∠ADB D、∠CAB=∠DAB
6.如圖，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為( )
A.44° B.66° C.88° D.92°
7.一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.6 B.8 C.9 D.12
8.如圖，直線l1，l2，l3表示三條公路.現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的點(diǎn)有()
A.四處 B.三處 C.二處 D.一處
9.如圖,已知△ABC中, AB=AC=12厘米, ∠B=∠C,BC=8厘米,點(diǎn) D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),Q點(diǎn)在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng). 若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒。則當(dāng)△BPD與△CPQ全等時(shí)，v的值為( )
A.2 B.3 C.2或3 D.1或5
10.如圖，在△ABC中，AD、CF分別是∠BAC、∠ACB的角平分線，且AD、CF交于點(diǎn)I，IE⊥BC與E，下列結(jié)論：①∠BIE=∠CID;② S△ABC = IE(AB+BC+AC);③BE= (AB+BC-AC);④AC=AF+DC.其中正確的結(jié)論是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空題
11.如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1=_________°.
12.如圖，已知為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去，則∠1+∠2=_____.
13.如圖，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要通過ASA證明△ABC≌△DEF，需要添加一個(gè)條件為 _____________.
14.如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長為21cm，△ABD的周長為13cm，則AE 長為__________.
15.如圖，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠ADB=32°，∠BCD+∠DCA=180°， 那么∠ACD為_________度.
16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，1)，B(4，0)，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，則C點(diǎn)坐標(biāo)為_____.
三、解答題
17.已知△ABN和△ACM的位置如圖所示，∠1=∠2，AB=AC，AM=AN，求證：∠M=∠N.
18.如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度數(shù).
19.如圖，AD平分∠EAC，E⊥AB于E，F(xiàn)⊥AC于F，D=CD，求證：BE=FC.
20.如圖，在由邊長均為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC和△DEF(頂點(diǎn) 為網(wǎng)格線的交點(diǎn))，以及經(jīng)過格點(diǎn)的直線m.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)將△DEF先向左平移5個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度，畫出平移后得到的△D1E1F1;
(3)求∠A+∠E= ________°.
21.如圖，點(diǎn)D在CB的延長線上，DB=CB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，DE=AC，求證：∠A=∠DEB
22.如圖1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，E在線段AC上，連接AD， BE的延長線交AD于F.
(1)猜想線段BE、AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：_______________(不必證明);
(2)當(dāng)點(diǎn)E為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變.
①請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形;
?、?1)中結(jié)論成立嗎?若成立，請(qǐng)證明;若不成立，請(qǐng)說明理由.
23.已知：等邊三角形ABC
(1)如圖1，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且△PAE為等邊三角形，則BP_____ EC(填“>”，“<”或“=”)
(2)如圖2，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠BPC=120°.試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系， 并證明你的猜想;
(3)如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°.求證：PA+PD+PC>BD.
24.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABE為等腰直角三角形
(1)如圖1，點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A、G在y軸正半軸上，點(diǎn)E、H分別在x軸上，EG平分∠AEH與y軸 交于G點(diǎn)，GO=HO.求證：AE=HE;
(2)如圖2，點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A、E在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為線段OE上一點(diǎn)，D與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直 線DP⊥AC，若OE=3OC，求的值.
(3)如圖3，點(diǎn)A、B、C落在坐標(biāo)軸上，D為BC中點(diǎn)，連接AD，以AC為邊作等腰直角三角形ACF， 連EF，求證：AD⊥EF.
答案
二、選擇題
CBADB DDACA
三、填空題
11.66
12.270°
13.∠A=∠D
14.4cm
15.58
16.(，)或(，)
三、解答題
17.證明：∵∠1=∠2，∴∠BAN=∠CAM AB=AC，AM=AN，∴△ABN≌△ACM，∠M=∠N
18.解：設(shè)∠2=x°，x+x+x+5=180-85 x=30
19.證明：先證△ADE≌△ADF，再證△BDE≌△CDF即可
20.解：(1)如圖(2)如圖
(3)45°(提示：連接MN，得到△A1MN為等腰直角三角形)
21.證明：延長EB到F點(diǎn)，使得EB=FB連接CF
即可推出△BDE≌△BCF，得到DE=CF=AC，∠DEB=∠F=∠A
22.解：(1)BE=AD,BE⊥AD
(2) ①如圖：
②解：結(jié)論成立
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD,∠1=∠2
又∵∠3=∠4
∴∠AFB=∠ACB=90°
∴BE⊥AD
23.
解：(1)=
(2)猜想:AP=BP+PC,
證明:延長BP至E,使PE=PC,連接CE,
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°又PE=PC,
∴△CPE為等邊三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,
∵△ABC為等邊三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
∴∠ACP=∠BCE,
∴△ACP≌△BCE(SAS)
∴AP=BE,
∵BE=BO+PE
∴AP=BP+PC
(3)證明:在AD外側(cè)作等邊△AB’D,
則點(diǎn)P在三角形AB’D外,連接PB’,B’C,
∵∠APD=120°
∴由(1)得PB’=AP+PD,
在△PB’C中,有PB’+PC’>CB’,
∴PA+PB+PC>CB’,
∵△AB’D、△ABC是等邊三角形,
∴AC=AB,AB’=AD
∠BAD=∠CAB’
∴△AB’C≌△ADB
∴CB’=BD,
∴PA+PD+PC>BD
24.
(1)證明：∵△ABE為等腰直角三角形，EG平分∠AEH∴∠GEO=22.5°，∴∠OGE=67.5°，∠AGE=112.5°又∵GO=HO，∴∠HGO=45°，∠HGE=112.5°=∠AGE，∴△EGA≌△EGH(ASA)∴AE=HE
(2)連接AD，過P點(diǎn)作PH⊥OE,過D點(diǎn)作DF⊥AP,FG⊥AO,FM⊥OE,PN⊥FN
由題意可知，△AOC≌△AOD,得到∠DAO=∠CAO，AC=AD,∠DAP=45°+∠DAO，∠APD=45°+∠PDE，因?yàn)榘俗中?，得?ang;PDE=∠OAC，∴∠DAP=∠DPA，∴DA=DP，AF=PF∴△AOC≌△DHP，可以推出OH=2EH,∴△AFG≌△FPN,∴FG=PN=OM=HM=HE,∴△AFG≌△PEH,故=2
(3)中線倍長AD，可以得到△ABD≌△GCD,現(xiàn)在只需要證明△AFE≌△CAG
∴AB=AE=CG,AF=AC,AB∥CG，設(shè)∠ACG=x，∠FAE=y，∴∠BAF=∠EAC=90°-y,∵∠BAC+∠ACG=180°∴90°-y+y+90°-y+x=180°，∴x=y，∴△AFE≌△CAG，∴∠CAG=∠AFE，∴∠AFE+∠FAG=90°，∴AD⊥EF
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中測(cè)試題參考
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.若分式x-32x-5的值為0，則x的值為( )
A.-3 B.-52
C.52 D.3
2.如圖，線段AD，AE，AF分別為△ABC的中線、 角平分線和高線，其中能把△ABC分成兩個(gè)面積相等的三角形的線段是( )
A.AD B.AE C.AF D.無
第2題圖
3.用反證法證明“a>b”時(shí)，一般應(yīng)先假設(shè)( )
A.a>b B.a
4.下列式子中計(jì)算結(jié)果與(-a)2相同的是( )
A.(a2)-1 B.a2•a-4
C.a-2÷a4 D.a4•(-a)-2
5.如圖，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，則∠E的度數(shù)為( )
A.35° B.45° C.60° D.100°
第5題圖
6.在等腰三角形ABC中，它的兩邊長分別為8cm和4cm，則它的周長為( )
A.10cm B.12cm
C.20cm或16cm D.20cm
7.化簡(jiǎn)1x-3-x+1x2-1•(x-3)的結(jié)果是( )
A.2 B.2x-1
C.2x-3 D.x-4x-1
8.如圖，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，且AB+BC=BE，則∠B的度數(shù)是( )
A.45° B.60° C.50° D.55°
第8題圖 第10題圖
9.今年我市工業(yè)試驗(yàn)區(qū)投資50760萬元開發(fā)了多 個(gè)項(xiàng)目，今后還將投資106960萬元開發(fā)多個(gè)新項(xiàng)目，每個(gè)新項(xiàng)目平均投資比今年每個(gè)項(xiàng)目平均投資多500萬元，并且新項(xiàng)目數(shù)量 比今年多20個(gè).假設(shè)今年每個(gè)項(xiàng)目平均投資是x萬元，那么下列方程符合題意的是( )
A.106960x+500-50760x=20 B.50760x-106960x+500=20
C.106960x+20-50760x=500 D.50760x-106960x+20=500
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是底邊BC上異于BC中點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，∠ADE=∠DAC，DE=AC.運(yùn)用以上條件(不添加輔助線)可以說明下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.△ADE≌△DAC B.AF=DF
C.AF=CF D.∠B=∠E
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.計(jì)算：2x2y3÷xy2=________.
12.測(cè)得某人的頭發(fā)直徑為0.00000000835米，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為____________.
13.如圖，AB=AD，要判定△ABC≌△ADC，還需添加一個(gè)條件是____________.
第13題圖
14.方程2x=3x+1的根是________.
15.如圖，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，圖中全等三角形共有________對(duì).
第15題圖 第16題圖
16.如圖，△ABC是等邊三角形，∠CBD=90°，BD=BC，則∠1的度數(shù)是________.
17.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，則BE=________.
第17題圖 第18題圖
18.如圖，已知AB=DC，AD=BC，E，F(xiàn)是BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，則∠BCF=________.
三、解答題(共66分)
19.(8分)解方程：
(1)3+x4-x=12; (2)xx-1-2x-1x2-1=1.
20.(7分)已知a=-3，b=2，求代數(shù)式1a+1b÷a2+2ab+b2a+b的值
21.(7分)如圖，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AB于D，交AC于E，若BE=BC，求∠ A的度數(shù).
22.(10分)如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，BE與CD相交于點(diǎn)O.現(xiàn)有四個(gè)條件：①AB=AC;②OB=OC;③∠ABE=∠ACD;④BE=C D.
(1)請(qǐng)你選出兩個(gè)條件作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫 一個(gè)正確的命題： 命題的條件是______和______，命題的結(jié)論是______和______(均填序號(hào));
( 2)證明你寫的命題.
23.(10分)如圖，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，CE，BF交于點(diǎn)P.
(1)求證：CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
24.(10分)目前，步行已成為人們最喜愛的健身方法之一，通過手機(jī)可以計(jì)算行走的步數(shù)與相應(yīng)的能量消耗，還可以通過運(yùn)動(dòng)做公益(如圖).對(duì)比手機(jī)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)小明步行12000步與小紅步行9000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小明行走的步數(shù)比小紅多10步，求小紅，小明每消耗1千卡能量各需要行走多少步.
25.(14分)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.
參考答案與解析
1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D 7.B 8.C 9.A
10.C 解析：由條件DE=AC，∠ADE=∠DAC，AD=DA，可證△ADE≌△DAC. 由∠ADE=∠DAC，可得AF=DF.由△ADE≌△DAC，可得∠E=∠C.又因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C=∠E.故選C.
11.2xy 12.8.35×10-9 13.BC=CD(答案不唯一)
14.x=2 15.3
16.75° 17.0.8cm 18.70°
19.解：(1)方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母2(4-x)，得2(3+x)=4-x，(1分)去括號(hào)、移項(xiàng)，得 2x+x=4-6，合并同類項(xiàng)，得3x=-2，系數(shù)化為1，得x=-23.(3分)經(jīng)檢驗(yàn)，x=-23是原分式方 程的解.(4分)
(2)方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母x2-1，(5分)得x(x+1)-(2x-1)=x2-1，解得x=2.(7分)經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解.(8分)
20.解：原式=a+bab•a+b(a+b)2=1ab.(4分)∵a=-3，b=2，∴ 原式=-16.(7分)
21.解：設(shè)∠A=α.(1分)∵DE垂直平分AB，∴∠ABE=∠A=α，∴∠BE C=2α.(3分)∵BE=BC，∴∠C=∠BEC=2α.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2α.(5分)由三角形內(nèi)角和為180°知α+2α+2α=180°，得∠A=α=36°.(7分)
22.(1)解：① ③?、凇、?答案不唯一)(4分)
(2)證明：在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴BE=CD.(7分)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠OBC=∠OCB，∴OB=OC.(10分)
23.(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°.(2分)在△BCE和△ABF中，BC=AB，∠EBC=∠A，BE=AF，∴△BCE≌△ABF(SAS).∴CE=BF.(6分)
(2)解：由(1)知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF.(8分)∴∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，∴∠BPC=180°-∠BPE=180°-60°=120°.(10分)
24.解：設(shè)小紅每消耗1千卡能量需要行走x步，則小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步.(2分)根據(jù)題意得12000x+10=9000x，解得x=30.(6分)經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原方程的解.所以x+10=40.(9分)
答：小紅，小明每消耗1千卡能量各需要行走30步、40步.(10分)
25.(1)證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE.(2分)在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=CE+DC=AD+BE.(5分)
(2)證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE.在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE(AAS)，(8分)∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE.(10分)
(3)解：DE=BE-AD.(11分)證明如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE.在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB，∴△ACD≌△CBE(AAS).∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD-CE=BE-AD.(14分)
八年級(jí)數(shù)學(xué)上期中試卷閱讀
一、選擇題(每小題3分，共30分)請(qǐng)將唯一正確答案的序號(hào)涂在答題卡.
1.在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是( )
A.π B. C. D.
2.下列各式正確的是( )
A.=±4 B.=±4 C.±=±4 D.=2
3.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a12÷a3=a4 B.(a3)4=a12
C.(﹣2a2)3=8a5 D.(a﹣2)2=a2﹣4
4.若(x﹣1)(x2+mx+n)的積中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，則m，n的值為( )
A.m=2，n=1 B.m=﹣2，n=1 C.m=﹣1，n=1 D.m=1，n=1
5.若2x﹣3y+z﹣2=0，則16x÷82y×4z的值為( )
A.16 B.﹣16 C.8 D.4
6.現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：a※b=ab+a﹣b，其中a，b為實(shí)數(shù)，則※等于( )
A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.6
7.多項(xiàng)式①4x2﹣x;②(x﹣1)2﹣4(x﹣1);③1﹣x2;④﹣4x2﹣1+4x，分解因式后，結(jié)果中含有相同因式的是( )
A.①和② B.③和④ C.①和④ D.②和③
8.如圖，△ABC≌△ADE，∠DAC=70°，∠BAE=100°，BC、DE相交于點(diǎn)F，則∠DFB度數(shù)是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
9.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH=EB=4，AE=6，則CH的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.用四個(gè)全等的長方形和一個(gè)小正方形拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4，若用a，b分別表示矩形的長和寬(a>b)，則下列關(guān)系中不正確的是( )
A.a+b=12 B.a﹣b=2 C.ab=35 D.a2+b2=84
二、填空題(每小題3分，共15分)
11.的平方根為 .
12.若(a+5)2+=0，則a2018•b2019= .
13.計(jì)算：20132﹣2014×2012= .
14.如圖，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S= .
15.觀察下列式子：
22﹣1=3;32﹣22=5;42﹣32=7;52﹣42=9…設(shè)n為正整數(shù)，用含n的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律
三、解答題.(共75分)
16.(10分)計(jì)算或解答
(1)﹣+|1﹣|﹣(2+)
(2)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為2m﹣6，它的平方根為±(2﹣m)，求這個(gè)數(shù).
17.(8分)分解因式.
(1)4x3y﹣4x2y2+xy3
(2)m3(x﹣2)+m(2﹣x)
18.(10分)(1)計(jì)算：[(ab+1)(ab﹣2)﹣(2ab)2+2]÷(﹣ab)
(2)先化簡(jiǎn)，再求值：(x+2)2+(2x+1)(2x﹣1)﹣4x(x+1)，其中x=﹣.
19.(9分)已知，a+b=3，ab=﹣2，求下列各式的值：
(1)(a﹣1)(b﹣1)
(2)a2+b2
(3)a﹣b
20.(7分)如圖，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，BF=DE，求證：AB∥CD.
21.(10分)(1)化簡(jiǎn)：(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2;
(2)利用(1)題的結(jié)論，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.
22.(10分)如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=12厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)B動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(0≤t≤4).
(1)若點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由;
(2)若點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的速度是多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等?
23.(11分)CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：
①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE CF;(填“>”，“<”或“=”);EF，BE，AF三條線段的數(shù)量關(guān)系是： .
?、谌鐖D2，若0°<∠BCA<180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 ，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.
(2)如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想并證明.
2018-2019學(xué)年河南省南陽市鄧州市八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(每小題3分，共30分)請(qǐng)將唯一正確答案的序號(hào)涂在答題卡.
1.在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是( )
A.π B. C. D.
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐個(gè)分析.
【解答】解：A、π是無限不循環(huán)小數(shù)，即為無理數(shù);
B、是無限循環(huán)小數(shù)，即為有理數(shù);
C、=3，即為有理數(shù);
D、=4，即為有理數(shù).
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如π，，0.8080080008…(每兩個(gè)8之間依次多1個(gè)0)等形式.
2.下列各式正確的是( )
A.=±4 B.=±4 C.±=±4 D.=2
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義逐一計(jì)算可得.
【解答】解：A.=4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B.=4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C.±=±4，此選項(xiàng)正確;
D.≠2，=2，此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根與立方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根和算術(shù)平方根及立方根的定義.
3.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a12÷a3=a4 B.(a3)4=a12
C.(﹣2a2)3=8a5 D.(a﹣2)2=a2﹣4
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法、冪的乘方與積的乘方及完全平方公式逐一計(jì)算可得.
【解答】解：A、a12÷a3=a9，此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(a3)4=a12，此選項(xiàng)正確;
C、(﹣2a2)3=﹣8a6，此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、(a﹣2)2=a2﹣4a+4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法、冪的乘方與積的乘方及完全平方公式.
4.若(x﹣1)(x2+mx+n)的積中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，則m，n的值為( )
A.m=2，n=1 B.m=﹣2，n=1 C.m=﹣1，n=1 D.m=1，n=1
【分析】直接利用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則去括號(hào)，進(jìn)而得出關(guān)于m，n的等式，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：∵(x﹣1)(x2+mx+n)的積中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，
∴(x﹣1)(x2+mx+n)
=x3+mx2+nx﹣x2﹣mx﹣n
=x3+(m﹣1)x2﹣(m﹣n)x﹣n，
∴，
解得m=1，n=1，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確得出含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)是解題關(guān)鍵.
5.若2x﹣3y+z﹣2=0，則16x÷82y×4z的值為( )
A.16 B.﹣16 C.8 D.4
【分析】根據(jù)題意求出2x+3y﹣z，根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則計(jì)算即可.
【解答】解：∵2x﹣3y+z﹣2=0，
∴2x﹣3y+z=2，
則原式=(24)x÷(23)2y×(22)z
=24x÷26y×22z
=22(2x﹣3y+z)
=24
=16，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、冪的乘方，掌握同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵.
6.現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：a※b=ab+a﹣b，其中a，b為實(shí)數(shù)，則※等于( )
A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.6
【分析】先計(jì)算=4，=﹣2，再依據(jù)新定義規(guī)定的運(yùn)算a※b=ab+a﹣b計(jì)算可得.
【解答】解：※
=4※(﹣2)
=4×(﹣2)+4﹣(﹣2)
=﹣8+4+2
=﹣2，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，屬于新定義題型，弄清題意的新定義與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
7.多項(xiàng)式①4x2﹣x;②(x﹣1)2﹣4(x﹣1);③1﹣x2;④﹣4x2﹣1+4x，分解因式后，結(jié)果中含有相同因式的是( )
A.①和② B.③和④ C.①和④ D.②和③
【分析】根據(jù)提公因式法和完全平方公式把各選項(xiàng)的多項(xiàng)式分解因式，然后再找出結(jié)果中含有相同因式的即可.
【解答】解：①4x2﹣x=x(4x﹣1);
?、?x﹣1)2﹣4(x﹣1)=(x﹣1)(x﹣1﹣4)=(x﹣1)(x﹣5);
③1﹣x2=(1﹣x)(1+x)=﹣(x﹣1)(x+1);
?、堠?x2﹣1+4x=﹣(4x2﹣4x+1)=﹣(2x﹣1)2，
∴②和③有相同因式為x﹣1，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟練掌握公式結(jié)構(gòu)是求解的關(guān)鍵.
8.如圖，△ABC≌△ADE，∠DAC=70°，∠BAE=100°，BC、DE相交于點(diǎn)F，則∠DFB度數(shù)是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
【分析】先根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)△ABG和△FDG的內(nèi)角和都等于180°，所以∠DFB=∠BAD.
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
又∠BAD=∠BAC﹣∠CAD，∠CAE=∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠DAC=70°，∠BAE=100°，
∴∠BAD=(∠BAE﹣∠DAC)=(100°﹣70°)=15°，
在△ABG和△FDG中，∵∠B=∠D，∠AGB=∠FGD，
∴∠DFB=∠BAD=15°.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
9.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH=EB=4，AE=6，則CH的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD=∠BCE，則可根據(jù)“AAS”證明△BCE≌△HAE，則CE=AE=6，然后計(jì)算CE﹣HE即可.
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠ADB=90°，
∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△BCE和△HAE中
，
∴△BCE≌△HAE，
∴CE=AE=6，
∴CH=CE﹣HE=6﹣4=2.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
10.用四個(gè)全等的長方形和一個(gè)小正方形拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4，若用a，b分別表示矩形的長和寬(a>b)，則下列關(guān)系中不正確的是( )
A.a+b=12 B.a﹣b=2 C.ab=35 D.a2+b2=84
【分析】能夠根據(jù)大正方形和小正方形的面積分別求得正方形的邊長，再根據(jù)其邊長分別列方程，根據(jù)4個(gè)矩形的面積和等于兩個(gè)正方形的面積的差列方程.
【解答】解：A、根據(jù)大正方形的面積求得該正方形的邊長是12，則a+b=12，故A選項(xiàng)正確;
B、根據(jù)小正方形的面積可以求得該正方形的邊長是2，則a﹣b=2，故B選項(xiàng)正確;
C、根據(jù)4個(gè)矩形的面積和等于大正方形的面積減去小正方形的面積，即4ab=144﹣4=140，ab=35，故C選項(xiàng)正確;
D、(a+b)2=a2+b2+2ab=144，所以a2+b2=144﹣2×35=144﹣70=74，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題關(guān)鍵是能夠結(jié)合圖形和圖形的面積公式正確分析，運(yùn)用排除法進(jìn)行選擇.
二、填空題(每小題3分，共15分)
11.的平方根為 ±3 .
【分析】根據(jù)平方根的定義即可得出答案.
【解答】解：8l的平方根為±3.
故答案為：±3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方根的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握定義是關(guān)鍵.
12.若(a+5)2+=0，則a2018•b2019= 15 .
【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)得出a，b的值，進(jìn)而利用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.
【解答】解：∵(a+5)2+=0，
∴a+5=0，5b=1，
故a=﹣5，b=，
則a2018•b2019=(ab)2018×b=1×=.
故答案為：.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
13.計(jì)算：20132﹣2014×2012= 1 .
【分析】把2014×2012化成(2013+1)×(2013﹣1)，根據(jù)平方差公式展開，再合并即可.
【解答】解：原式=20132﹣(2013+1)×(2013﹣1)
=20132﹣20132+12
=1，
故答案為：1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，注意：(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
14.如圖，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S= 50 .
【分析】求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∠FEA=∠BAG，根據(jù)AAS證△FEA≌△GAB，推出AG=EF=6，AF=BG=2，同理CG=DH=4，BG=CH=2，求出FH=14，根據(jù)陰影部分的面積=S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC和面積公式代入求出即可.
【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中
∵，
∴△FEA≌△GAB(AAS)，
∴AG=EF=6，AF=BG=2，
同理CG=DH=4，BG=CH=2，
∴FH=2+6+4+2=14，
∴梯形EFHD的面積是×(EF+DH)×FH=×(6+4)×14=70，
∴陰影部分的面積是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC
=70﹣×6×2﹣×(6+4)×2﹣×4×2
=50.
故答案為50.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，梯形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積.
15.觀察下列式子：
22﹣1=3;32﹣22=5;42﹣32=7;52﹣42=9…設(shè)n為正整數(shù)，用含n的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 (n+1)2﹣n2=2n+1
【分析】根據(jù)已知等式得出序數(shù)加1與序數(shù)的平方差等于序數(shù)的2倍與1的和，據(jù)此可得.
【解答】解：∵第1個(gè)式子為(1+1)2﹣12=2×1+1，
第2個(gè)式子為(2+1)2﹣22=2×2+1，
第3個(gè)式子為(3+1)2﹣32=2×3+1，
第4個(gè)式子為(4+1)2﹣42=2×4+1，
∴第n個(gè)式子為(n+1)2﹣n2=2n+1，
故答案為：(n+1)2﹣n2=2n+1.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是將已知等式與序數(shù)聯(lián)系起來，得出普遍規(guī)律.
三、解答題.(共75分)
16.(10分)計(jì)算或解答
(1)﹣+|1﹣|﹣(2+)
(2)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為2m﹣6，它的平方根為±(2﹣m)，求這個(gè)數(shù).
【分析】(1)首先利用算術(shù)平方根以及立方根和絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案;
(2)利用算術(shù)平方根以及平方根的定義得出m的值進(jìn)而得出答案.
【解答】解：(1)原式=6+3+2﹣1﹣2﹣2
=6;
(2)由題意得：2m﹣6≥0，
∴m≥3，∴m﹣2>0，
因此2m﹣6=﹣(2﹣m)，
∴m=4，所以這個(gè)數(shù)是(2m﹣6)2=4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.
17.(8分)分解因式.
(1)4x3y﹣4x2y2+xy3
(2)m3(x﹣2)+m(2﹣x)
【分析】(1)多項(xiàng)式共3項(xiàng)且有公因式，應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解;
(2)多項(xiàng)式變形為m3(x﹣2)﹣m(x﹣2)，先提取公因式，再考慮用平方差公式分解.
【解答】解：(1)原式=xy(4x2﹣4xy+y2)
=xy(2x﹣y)2
(2)原式=m3(x﹣2)﹣m(x﹣2)
=m(x﹣2)(m2﹣1)
=m(x﹣2)(m+1)(m﹣1)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，一般來說，多項(xiàng)式若有公因式先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解.
18.(10分)(1)計(jì)算：[(ab+1)(ab﹣2)﹣(2ab)2+2]÷(﹣ab)
(2)先化簡(jiǎn)，再求值：(x+2)2+(2x+1)(2x﹣1)﹣4x(x+1)，其中x=﹣.
【分析】(1)先算括號(hào)內(nèi)的乘法，再合并同類項(xiàng)，最后算除法即可;
(2)先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可.
【解答】解：(1)原式=(a2b2﹣ab﹣2﹣4a2b2+2)÷(﹣ab)
=(﹣3a2b2﹣ab)÷(﹣ab)
=3ab+1;
(2)解：原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x
=x2+3，
當(dāng)x=﹣2時(shí)，原式=(﹣2)2+3=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵.
19.(9分)已知，a+b=3，ab=﹣2，求下列各式的值：
(1)(a﹣1)(b﹣1)
(2)a2+b2
(3)a﹣b
【分析】(1)把式子展開，整體代入求出結(jié)果;
(2)利用完全平方公式，把a(bǔ)2+b2變形為(a+b)2﹣2ab，整體代入求出結(jié)果;
(3)根據(jù)已知和(2)的結(jié)果，先求出(a﹣b)2的值，再求它的平方根.
【解答】解：(1)原式=ab﹣a﹣b+1
=ab﹣(a+b)+1
=﹣2﹣3+1
=﹣4
(2)原式=(a+b)2﹣2ab
=9+4
=13
(3)∵(a﹣b)2
=a2+b2﹣2ab
=13+4
=17
∴a﹣b=±.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體代入和完全平方公式的變形.解決本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想.
20.(7分)如圖，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，BF=DE，求證：AB∥CD.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠B=∠D，根據(jù)平行線的判定，可得答案.
【解答】證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF.
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)，
∴∠B=∠D，
∴AB∥CD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出BE=DF是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定與性質(zhì).
21.(10分)(1)化簡(jiǎn)：(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2;
(2)利用(1)題的結(jié)論，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.
【分析】(1)根據(jù)整式的混合運(yùn)算的法則化簡(jiǎn)后，代入求值即可;
(2)原式變形后，利用完全平方公式配方后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值.
【解答】(1)解：原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc;
(2)解：原式=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc)= [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]
當(dāng)a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，
∴原式=×[(﹣1)2+(﹣1)2+22]=3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
22.(10分)如圖，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=12厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)B動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(0≤t≤4).
(1)若點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由;
(2)若點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的速度是多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等?
【分析】(1)依據(jù)點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒，運(yùn)用SAS即可得到△BPD和△CQP全等;
(2)依據(jù)BP≠CQ，△BPD≌△CQP，可得BP=CP=4，進(jìn)而得出t=2，a=3，即可得到當(dāng)點(diǎn)Q的速度是3厘米/秒時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等.
【解答】解：(1)△BPD和△CQP全等
理由：∵t=1秒，
∴BP=CQ=2，
∴CP=8﹣BP=6，
∵AB=12，
∴BD=12×=6，
∴BD=CP，
又∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP(SAS);
(2)∵BP≠CQ，△BPD≌△CQP，
∴BP=CP=4，
∴t=2，
∴BD=CQ=at=2a=6，
∴a=3，
∴當(dāng)點(diǎn)Q的速度是3厘米/秒時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元一次方程的應(yīng)用，能求出△BPD≌△CQP是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
23.(11分)CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：
①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE = CF;(填“>”，“<”或“=”);EF，BE，AF三條線段的數(shù)量關(guān)系是： EF=|BE﹣AF| .
?、谌鐖D2，若0°<∠BCA<180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 ∠α+∠ACB=180°. ，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.
(2)如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想并證明.
【分析】(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可;
?、谇蟪?ang;BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可;
(2)求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可.
【解答】解：(1)①如圖1中，
E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，
當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF﹣BE，
∴EF=|BE﹣AF|;
故答案為=，EF=|BE﹣AF|.
?、?ang;α+∠ACB=180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立;
證明：如圖2中，
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，
當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF﹣BE，
∴EF=|BE﹣AF|;
故答案為∠α+∠ACB=180°.
(2)結(jié)論：EF=BE+AF.
理由：如圖3中，
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA(AAS)，
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF.
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