中學數(shù)學論文參考范文
中學數(shù)學論文參考范文
中學數(shù)學作為中學教育的基礎課程,對于學生后續(xù)的課程學習和思維培養(yǎng)具有至關重要的作用。下文是學習啦小編為大家搜集整理的關于中學數(shù)學論文參考范文的內(nèi)容，歡迎大家閱讀參考!
中學數(shù)學論文參考范文篇1
淺析中學數(shù)學中的變量代換
摘 要：由于數(shù)學問題的多樣性、復雜性和靈活性，在直接解決問題受阻時，常需要采用轉化策略，而變量代換就是教師在解決問題中常用的變換手段。通過一些例子論述了變量代換在中學數(shù)學中的應用和作用，以及如何正確進行變量代換，從而優(yōu)化解題過程。
關鍵詞：代換;中學數(shù)學;應用
在學習數(shù)學的過程中，我們常常覺得一些公式的變形、等式的變化很難理解，在解題時往往感到很難下手，于是對數(shù)學產(chǎn)生畏懼、厭倦情緒，然而變量代換是眾多數(shù)學方法中易于掌握且行之有效的方法.
所謂變量代換是指某些變量的解析表達式用另一些新的變量(或變量表達式)來代換，這種方法也稱為換元法.
一、變量代換的幾種常用方法
用變量代換法分析和解決問題可以化難為易，把抽象問題變具體，使解題者對數(shù)學更加有興趣，從而提高學習積極性.在中學中，變量代換應用廣泛，總結概括為以下幾點：
(一)初等變換法
有關函數(shù)知識及問題常常要用變量代換思想去分析和理解.初學函數(shù)概念與符號f(x)時，很多學生對其表達意義不能正確領會和應用.例如，f(x)=x2，則f(x+ )=(x+ )2，在課堂不注重方式的令x=x+ ，學生很難理解，因為x≠x+ ，事實上把f(t)=t2中的變量t用x+ 代入得到結論就比較容易讓學生理解了.
例1.定義在R上的函數(shù)y=f(x)，當x>0時，f(x)>1且對任意a、b∈R有f(a+b)=f(a)?f(b)，又f(0)≠0.
(1)求證：f(0)=1;
(2)求證：對x∈R，有f(x)>0;
(3)求證：f(x)是R上增函數(shù).
分析：解決本題關鍵在于把條件中的a，b，進行多次變量代換，
還有利用等量代換，如f(0)=1.
證：(1)由f(a+b)=f(a)?f(b)，得f(0+0)=f(0)?f(0).因為f(0)≠0，所以f(0)=1.
(2)當x≥0時，f(x)≥1>0;當x<0時，因為-x>0，所以f(-x)>0.
由f[x+(-x)]=f(x)?f(-x)，知
f(x)= = >0.
綜上知：x∈R，有f(x)>0.
(3)設x1 0.因f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)?f(x1);
又當x2-x1>0時，f(x2-x1)>1，且f(x1)>0，所以
f(x2)=f(x2-x1)?f(x1)>f(x1)，
因此f(x)是R上增函數(shù).
(二)遞推數(shù)列下標代換法
例2.在數(shù)列an中，a1=3，nan+1=(n+2)an+2n(n+1)(n+2)，求通項公式an.
分析：解題過程中主要是把 變換為bn，這樣過程可以簡化些，最后再用an回代.
解：對原遞推式兩邊同除以n(n+1)(n+2)可得：
= +2 ①
令
bn= ②
則①為bn+1=bn+2，即數(shù)列bn是首項為b1= = ，公差是bn+1-bn=2的等差數(shù)列，因而
bn= +2(n-1)=2n- ，
代入②式中得
an= n(n+1)(4n-1).
故所求的通項公式是
an= n(n+1)(4n-1).
(三)方程代換法
例3.若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.
分析：題中的a，b之和與a，b之積是聯(lián)想韋達定理的信號，因此考慮構造方程進行代換.
解：設ab=p，則a+b=p-3，故a，b是方程x2-(p-3)的兩個正根，則有
?駐=(p-3)2-4p≥0，p>0，p-3>0，
解得p≥9，即a，b的取值范圍為[9，+∞).
(四)整體代換
例4.設x，y，z>0，x+y+z=1，求 + + 的最小值.
分析：注意到x+y+z=1，其他的代數(shù)式與之相乘后不會改變其原來的性質.就該題而言，相乘后可得到能利用均值不等式的模式.
證： + + =(x+y+z)( + + )=14+ + + + + ≥2( + + )=14+2(2+6+3)=36.
當x= ，y= ，z= 時等號成立.
(五)不等式中的變量代換
在代數(shù)式的恒等變形和解方程時，我們使用過變量代換.而在不等式的證明中若能引進適當?shù)拇鷵Q，不僅能使證明簡化，而且比較容易找到證題思路.下面用兩道例題進行描述，權作引玉之磚.
例5.已知a>0，b>0，c>0，求證： + + ≥ .
分析：直接證明似乎不太容易，若注意到不等式的對稱性，把b+c，a+c，a+b看作三個新的變量進行代換，就會使形式變得簡單，容易證明.
證：令x=b+c，y=c+a，z=a+b，則
a= (-x+y+z)，b= (x-y+z)，c= (x+y-z)，
于是
+ + = + +
=- + ( + )+ ( + )+ ( + )
≥- +3= .
當且僅當x=y=z，即a=b=c時取“=”號.
二、變量代換的作用
變量代換在數(shù)學解題中有著廣泛的運用，被稱為是解決數(shù)學問題的有力杠桿.下面通過舉例說明幾種常見的用處.
(一)用代換變未知為已知
在一些題目中，往往通過引進新的變量可把分散的條件聯(lián)系起來，使隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问?，從而把原本復雜的計算和推證簡化. 例6.△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B， + + ，求cos 的值.
分析：本題中A+C=120°是已知，隨后結合三角形角的關系與三角公式進行運算.再次除由已知想到引進變量進行代換后，還要求對三角公式的運用相當熟練.
解：由△ABC中已知A+C=2B，可得
A+C=120°B=60°
由A+C=120°，可設A=60°+αC=60°-α代入已知等式得
+ = + = + = = =-2 .
(二)溝通數(shù)學中各分科的統(tǒng)一
解數(shù)學綜合題的關鍵是尋找各知識點的有機聯(lián)系，通過知識點的轉移以達到代數(shù)問題三角解，幾何問題代數(shù)解.而變量代換在知識的轉化中起到了橋梁作用.
例7.若a<1，b<1，求證： ≤1.
證：因為a<1，b<1，令a=sin α，b=sin β，則
ab± =sin α sin β± =sin α sin β± =sin α sin β±cos α cos β=±cos(α β)
所以
ab± =±cos(α β)≤1.
(三)可以拓寬解題思路，實現(xiàn)一題多解
“一題多解”即在數(shù)學解題過程中，一些題目往往具有多種不同的解法，但由于每個學生原有知識、本身素質以及掌握信息量不盡相同，對題中數(shù)字方式以及構建新的聯(lián)系也各不相同，正如通常情況下運用變量代換就可使題目有不同的解法.
例8.已知x、y是正數(shù)，且x+y=1，A=ax+by，B=ay+bx，試比較AB與ab的大小.
分析：本題通過觀察條件的結構特征，引入中間變量，使兩個變元的問題轉化為一個變元的問題，且差的符號也容易判定.
解法1：令x=cos2 α，y=sin2 α，α∈(0， )，則
AB-ab=(ax+by)(ay+bx)-ab=(a2+b2)cos2 α sin2 α+ab(cos4 α+sin4 α)-ab=(a-b)2cos2 α sin2 α≥0
所以AB≥ab.
解法2：令x= t，y= -t(0≤t≤ )，則
AB-ab=[(a-b)t+ ][-(a-b)t+ ]-ab
=-(a-b)2t2+( )2-ab=(a-b)2( -t2)≥0
而(a-b)2≥0， -t2>0，即AB≥ab.
三、用變量代換法解題錯誤解析
變量代換是中學數(shù)學中一個重要的數(shù)學方法，正確的運用它常常能事半功倍，而運用不當則常會導致不易發(fā)覺的錯誤，長此則會影響解題者思維的嚴密性.
例9.若x+y+z=1，試證：x2+y2+z2≥ .
解：設x= -t，y= -2t，z= +3t(t∈R)，所以
x2+y2+z2=( -t)2+( -2t)2+( +3t)2= +14t2≥ .
當t=0，即x=y=z= 時，等號成立.
辨析：粗看確是一個好方法，可仔細看發(fā)現(xiàn)其中代換x= -t，y= -2t，z= +3t欠妥當，因為x= ，y= ，z= 顯然適合已知條
件x+y+z=1，但都無法從中代換得出，而且類似這樣不能得出的x、y、z還有很多.由此可見，這種代換實質上縮小了原變量的可取值范圍，因此失之片面.
正確解法如下：
解：設x= +t，y= +s，則z= -t-s，所以
x2+y2+z2=( +t)2+( +s)2+( -t-s)2= +t2+s2+(t+s)2≥ .
當t=s=0，即x=y=z= 時，等號成立.
由以上例子可看出，在用變量代換的轉化思想時必須注意在作代換轉化過程中可能出現(xiàn)的一些問題，對此須有補救措施，以確保代換后問題轉化的等價性.
參考文獻：
[1]徐正水.淺談變量代換思想的教學[J].中學月刊，2006(7)：22-23.
[2]王豪榜.變量代換在解題中的應用[J].高中數(shù)學教與學，2002：18-20.
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