勾股定理知識點
勾股定理，我們在高中的時候學習過，它在中國的九章算術上也有記載，相信大家不會陌生。下面是學習啦小編給大家整理的勾股定理，供大家參閱!
勾股定理定義
在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數學語言表達：
勾股定理是余弦定理中的一個特例。
勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。
勾股定理意義
1.勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端;
2.勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理;
3.勾股定理導致了無理數的發(fā)現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解;
4.勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理;
5.勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值.這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用.1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個數學公式”郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。
勾股定理推廣
勾股數組
勾股數組是滿足勾股定理 的正整數組，其中的稱為勾股數。例如就是一組勾股數組。
任意一組勾股數可以表示為如下形式： ，，，其中 均為正整數，且。
定理用途
已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。
勾股定理推導
青朱出入圖
青朱出入圖，是東漢末年數學家劉徽根據“割補術”運用數形關系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。
劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。”其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補虛，分割線內不動，線外則“各從其類”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。
歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。
在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積(據輔助定理3)。
證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。
因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。
同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。
把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。
由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。
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