圓錐曲線(xiàn)的定義、概念與定理
圓錐曲線(xiàn)的定義、概念與定理
圓錐曲線(xiàn)包括橢圓，拋物線(xiàn)，雙曲線(xiàn)。那么你對(duì)圓錐曲線(xiàn)的定義了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的定義的內(nèi)容，希望大家喜歡!
圓錐曲線(xiàn)的定義
幾何觀點(diǎn)
用一個(gè)平面去截一個(gè)二次錐面，得到的交線(xiàn)就稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)(conic sections)。
通常提到的圓錐曲線(xiàn)包括橢圓，雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)，但嚴(yán)格來(lái)講，它還包括一些退化情形。具體而言：
1) 當(dāng)平面與二次錐面的母線(xiàn)平行，且不過(guò)圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為拋物線(xiàn)。
2) 當(dāng)平面與二次錐面的母線(xiàn)平行，且過(guò)圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線(xiàn)。
3) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過(guò)圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為橢圓。
4) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過(guò)圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐的對(duì)稱(chēng)軸垂直，結(jié)果為圓。
5) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且過(guò)圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為一點(diǎn)。
6) 當(dāng)平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且不過(guò)圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為雙曲線(xiàn)(每一支為此二次錐面中的一個(gè)圓錐面與平面的交線(xiàn))。
7) 當(dāng)平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且過(guò)圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為兩條相交直線(xiàn)。
代數(shù)觀點(diǎn)
在笛卡爾平面上，二元二次方程 的圖像是圓錐曲線(xiàn)。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)以及各種退化情形。
焦點(diǎn)--準(zhǔn)線(xiàn)觀點(diǎn)
(嚴(yán)格來(lái)講，這種觀點(diǎn)下只能定義圓錐曲線(xiàn)的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線(xiàn)的定義。但因其使用廣泛，并能引導(dǎo)出許多圓錐曲線(xiàn)中重要的幾何概念和性質(zhì))。
給定一點(diǎn)P，一直線(xiàn)L以及一非負(fù)實(shí)常數(shù)e，則到P的距離與L距離之比為e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線(xiàn)。
根據(jù)e的范圍不同，曲線(xiàn)也各不相同。具體如下：
1) e=0，軌跡為圓(橢圓的特例);
2) e=1(即到P與到L距離相同)，軌跡為拋物線(xiàn) ;
3) 0<e<1，軌跡為橢圓;
4) e>1，軌跡為雙曲線(xiàn)的一支。
圓錐曲線(xiàn)的概念
(以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線(xiàn)通用的概念和性質(zhì)，由于大部分性質(zhì)是在焦點(diǎn)-準(zhǔn)線(xiàn)觀點(diǎn)下定義的，對(duì)于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。)
考慮焦點(diǎn)--準(zhǔn)線(xiàn)觀點(diǎn)下的圓錐曲線(xiàn)定義。定義中提到的定點(diǎn)，稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn);定直線(xiàn)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn);固定的常數(shù)(即圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離比值)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的離心率;焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離稱(chēng)為焦準(zhǔn)距;焦點(diǎn)到曲線(xiàn)上一點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為焦半徑。過(guò)焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)線(xiàn)的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)間的線(xiàn)段稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的通徑，物理學(xué)中又稱(chēng)為正焦弦。
圓錐曲線(xiàn)是光滑的，因此有切線(xiàn)和法線(xiàn)的概念。
類(lèi)似圓，與圓錐曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)的直線(xiàn)上兩交點(diǎn)間的線(xiàn)段稱(chēng)為弦;過(guò)焦點(diǎn)的弦稱(chēng)為焦點(diǎn)弦。
對(duì)于同一個(gè)橢圓或雙曲線(xiàn)，有兩個(gè)“焦點(diǎn)-準(zhǔn)線(xiàn)”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線(xiàn)有兩個(gè)焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線(xiàn)。而拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線(xiàn)。
圓錐曲線(xiàn)關(guān)于過(guò)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)垂直的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，在橢圓和雙曲線(xiàn)的情況，該直線(xiàn)通過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)，該直線(xiàn)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的焦軸。對(duì)于橢圓和雙曲線(xiàn)，還關(guān)于焦點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。
Pappus定理：圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)的焦半徑長(zhǎng)度等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離乘以離心率。
Pascal定理：圓錐曲線(xiàn)的內(nèi)接六邊形，若對(duì)邊兩兩不平行，則該六邊形對(duì)邊延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)共線(xiàn)。(對(duì)于退化的情形也適用)
Brianchon定理：圓錐曲線(xiàn)的外切六邊形，其三條對(duì)角線(xiàn)共點(diǎn)。
圓錐曲線(xiàn)的定理
由比利時(shí)數(shù)學(xué)家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線(xiàn)幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線(xiàn)定義的等價(jià)性。
即有一以Q為頂點(diǎn)的圓錐(蛋筒)，有一平面π'(你也可以說(shuō)是餅干)與其相截得到了圓錐曲線(xiàn)，作球與平面π'及圓錐相切，在曲線(xiàn)為橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí)平面與球有兩個(gè)切點(diǎn)，拋物線(xiàn)只有一個(gè)(或者另一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處)，則切點(diǎn)為焦點(diǎn)。又球與圓錐之交為圓，設(shè)以此圓所在平面π與π'之交為直線(xiàn)d(曲線(xiàn)為圓時(shí)d為無(wú)窮遠(yuǎn)線(xiàn))，則d為準(zhǔn)線(xiàn)。
圖只畫(huà)了橢圓，證明對(duì)拋物線(xiàn)雙曲線(xiàn)都適用，即證，任一個(gè)切點(diǎn)為焦點(diǎn)，d為準(zhǔn)線(xiàn)。
證：假設(shè)P為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，聯(lián)線(xiàn)PQ交圓O于E。設(shè)平面π′與π的交角為α，圓錐的母線(xiàn)(如PQ)與平面π的交角為β。設(shè)P到平面π 的垂足為H，H到直線(xiàn)d的垂足為R，則PR為P到d的垂線(xiàn)(三垂線(xiàn)定理)，而∠PRH=α。因?yàn)镻E、PF同為圓球之切線(xiàn)，得PE=PF。
如此則有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
其中：PF/PR=sinα/sinβ為常數(shù)。
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